As dimensões da bandeira brasileira

Este exercício foi retirado da revista guia do estudante enem 2010. ed. abril.

Achei interessante e por isso resolvi postar.

A bandeira brasileira foi instituída em 19 de novembro de 1889, quatro dias depois da proclamação da República. E tudo nesse símbolo nacional obedece a regras rígidas, definidas po lei federal. É o caso das dimensões, que seguem uma proporção bem estabelecida: qualquer que seja o tamanho escolhido, a altura deve ser dividida em 14 partes iguais(módulos). A base deve ter o comprimento de 20 desses módulos.

O TAMANHO DA BANDEIRA

Suponha que sua classe seja desafiada pelo professor de matemática a calcular as dimensões de uma bandeira brasileira, que deverá ocupar 72 metros quadrados na fachada da escola. Voçê conhece a proporção entre os lados da bandeira - ou seja, sabe que o lado maior(base) deve ter seis módulos a mais que o lado menor(altura). Veja como é fácil calcular a medida de cada lado.

A bandeira é um retangulo, de lados x (altura) e x + 6 (base):

O retângulo deve ter área de 72 metros quadrados. Então:

A= base x altura = 72

A= x. (x+6)

A . (x+6) = 72

+ 6x = 72

+ 6x - 72 = 0

Equação desse tipo, em que a incógnita x aparece elevada à segunda potência (elevada a 2), são equação de 2º grau:

E a forma mais fácil de resolvê-las é pela aplicação da fórmula de Bhaskara:

N equação da bandeira, temos:

a =1, b=6, c=-72

Substituindo esses valores na fórmula da Bhaskara:

Podemos determinar dois valores para x:

Se x=-12 então x + 6 = -6. Mas, quando trabalhamos com metros, medidas negativas não existem. Assim, esses valores são descartados.

Partimos, então, para a segunda possibilidades:

Se x=6, então x+6=12. Ou seja, a bandeira deverá ter 6 metros de altura por 12 de base - o que cobre a área de 72 metros quadrados, pois

A=b.b > A=6m. 12m=72

Probabilidade

QUAL É A CHANCE?

Existe uma forma simples e direta de calcular probabilidade



A forma mais simples de probabilidade é verificar quantas vezes dentro do todo pode ocorrer um fato conhecido.


A regra é:








Se uma moeda tem duas faces e apenas uma pode cair virada para cima, a cada vez, a probabilidade de dar cara é:

P = 1/2 = 0,5 = 50%

Numa classe de 40 alunos, sendo 30 meninas, a chance de ver uma menina saindo da sal é:

P = 30/40 = 0,75 = 75%

Numa rifa em que só um número pode se sorteado entre 200 participantes, a probabilidade de ele ser sorteado é:

P = 1/200 = 0,005 = 0,5%

Algumas propriedades de probabilidade:

• Se a probabilidade for 1 (100%), o acontecimento é certo.
• Se a probabilidade for 0, é impossível.
• A probabilidade de qualquer acontecimento fica entre 0 e 1. Quanto mais próximo de 0, menos provável. quanto mais próximo de 1, mais provável.

A maioria dos casos não é tão simples de calcular, por depender de vários fatores. Às vezes, você quer que dois ou três fatos aconteçam. Nesse caso, é preciso multiplicar as probabilidades, reduzindo a probabilidade total.

Quanto mais fatores necessários, menor a probabilidade. Na sala de aula mencionada acima, com 40 alunos, 30 são meninas(P1) e 10 têm mais de 18 anos (P2). Para calcular a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso se menina e ter mais que 18 anos, é preciso calcular as duas probabilidades e multiplicá-las:

P1 = 30/40 = 0,75 = 75%

P2 = 10/40 = 0,25 = 25%

Ptotal = 0,75 . 0,25 = 0,1875 = 18,75%

Se nessa sala 20 dos alunos tiverem cabelos castanhos (P3 = 0,5), a probabilidade de um aluno escolhido ser uma garota com mais de 18 anos e com cabelo castanho é:

Ptotal = 0,75 . 0,25 . 0,50 = 0,09375 aproximadamente 9,37%

Essa é a raiz de muitos mal-entendidos, porque não costumamos pensar em termos matemáticos nas expectativas da vida real - muitas vezes, levamos em conta só a intuição.

Um dos mais famosos estudos de psicologia, que em 2002 rendeu o Prêmio Nobel de Economia a Daniel Kahnemann, faz a seguinte descrição de uma turma de estudantes:

"Linda tem 31 anos, é solteira, sincera e muito inteligente. Ela é formada em filosofia. Quando era estudante, era muito preocupada com questões de discriminação e justiça social, e também participou de protesto antinucleares. Qual a probabilidade de que Linda:

• Seja professora do ensino fundamental?
• Trabalhe numa livraria e faça aula de ioga?
• Seja assistente social psquiátrica?
• Seja caixa de banco?
• Seja vendedora de seguros?
• Seja caixa de banco e ativa no momento feminista?"

As tentaram encaixar as descrições ao perfil - um esforço de adivinhação. Quase 90% dos pesquisados disseram ser mais provável que ela fosse "caixa de banco e ativa no movimento feminista" do que apenas "caixa de banco". Matematicamente, porém, a combinação de duas probabilidades nunca será mais provável que apenas uma delas.

Outra possibilidade de trabalho com probabilidade é a alternativa: um OU outro resultado favorável, em vez de um E outro. Nesse caso, a regra é somar as probabilidades:

Palternativa = P1 + P2

Por que a soma? Pense na moeda. A probabilidade de das cara ao jogá-la é de 0,5. A probabilidade de dar coroa é igualmente 0,5. Em qualquer jogada de moeda, cairá uma ou outra. Da mesma forma, 0,5+0,5 = 1 = 100%.

Veja esse vídeo, vai ajudar a compreender melhor o conceito de probabilidade.




















Depois dessa explicação, coloco aqui alguns exercícios que caem nos príncipais concursos e vestibulares do país.

Qual a probabilidade de obtermos " cara" ao atirarmos uma moeda?

a) 100%
b) 80%
c) 60%
d) 50%
e) 25%

Resolução

Qual a probabilidade de obtermos a face 5 no arremesso de um dado?

a) 16,66%
b) 33%
c) 50%
d) 80%
e) 90%

Considerando o espaço amostral contituído pelo números de 3 algarismos distintos, formados pelos algarismos 2, 3, 4, e 5, assinale a opção em que consta a probabilidade de que ao escolhermos um destes números, aleatoriamente, este seja múltiplo de 3

a) 1/3
b) 1/4
c) 1/2
d) 2/3
e) 3/4

Resolução:

Radiciação

Tabuada

É necessário compreender como funciona a tabuada e para aprender com comprensão é necessário trabalhar o fatos fundamentais da multiplicação.

Algo que ajuda bastante na compreenção é trabalhar com materiais variados( papel quadriculado, grão, palitos) e explorando jogos e situações diversas.

Essa tabela ajuda muito, os alunos constróem a tabuada, partindo de alguns fatos comuns já trabalhados anteriormente. Basta completar a tabela.

Também ajuda muito a realização de adições sucessivas, como no exemplo abaixo:

Sempre é bom lembrar que realizando atividades deste tipo ajuda a memorizar, claro que este esforço não deve ser obsessivo.

Gostei bastante desses vídeos, pois é uma forma bem lúdica de aprender tabuada. Lembre-se que serve apenas para tabuada do 6 ao 9 normalmente as mais difíceis de aprender.





Agora é a tabuada do 8 e assim por diante.




Temos ainda a tabela de tabuada de pitágoras

Pitágoras, filósofo e matemático grego, século VI antes de Cristo,inventou esta tabela, na qual é possível efetuar todas as operações de multiplicação existentes na velha tabuada. E tudo em um único lugar.

Para se calcular, por meio desta tabela, o produto de dois números, 5 x 9 por exemplo, basta localizar o multiplicando (5) na 5ª(quinta) coluna(Vermelha) e o multiplicador (9) na 9ª(nona) linha(Azul). O resultado do produto está no encontro da linha com a coluna (verde).
Observe que alguns conceitos adicionais podem ser explorados a partir daqui:
• O de uma composição tabular (matriz)
• Mostrar propriedades da multiplicação, fazendo a operação 9 x 5 diretamente na tabela ou 5 x 9 , afinal: "A ordem dos fatores não alteram o produto."
• Obter resultados de divisões exatas, claro dentro deste universo. Por exemplo: 45:5
• Localizar linha:(Horizontal (cor Azul)) e Coluna: (Vertical, (cor Vermelha)).
A tabuada de Pitágoras, é óbvio, deve ser utilizada dentro dos mesmos princípios didáticos e curriculares da tabuada tradicional, ou seja, após as devidas explicações do que seja uma multiplicação e uma divisão. No entanto, acredito que o uso da tabuada de Pitagóras tornaria, pelo menos, o aprendizado mais divertido.
A composição da tabela é bem simples: na coluna um encontran-se “os resultados da tabuada do 1″, coluna dois “os resultados da tabuada do 2″, na coluna tres "os resultados da tabuada do 3" e assim por diante.

Porcentagem

Porcentagem - %





Mais aula...



e por último...



Alguns exercícios de Porcentagem

José emprestou R$ 500,00 a João por 5 meses, no sistema de juros simples, a uma taxa de juros fixa e mensal. Se no final dos 5 meses José recebeu um total de R$ 600,00, então a taxa fixa mensal aplicada foi de:

a) 0,2%.
b) 0,4%.
c) 2%.
d) 6%.


Resolução:



Uma loja vende um liquidificador por R$ 16,00 para pagamento à vista ou sem duas prestações fixas de R$ 9,00, uma entrada e outra para 30 dias. A taxa de juros mensais cobrada pela firma está no intervalo:

a)de 10% a 14% ao mês
b)de 10% a 19% ao mês
c)de 20% a 24% ao mês
d)de 25% a 29% ao mês
e)de mais de 34% ao mês

Resolução:

Uma mercadoria que custa R reais sofre um desconto de 60%. Um aumento de 60% sobre o novo preço fará com que a mercadoria fique custando, em reais,

a)0.36R b) 0,40R c) 0,60R d) 0,64R e) R

Resolução:

Foi realizado um levantamento da secretaria da saúde que constatou que 22% dos indivíduos de um população foram infectados por uma doença epidêmica e que 6% deles morreram. Com relação à população inteira, a porcentagem de mortos, em consequência da epidemia foi

a) 0,0132% b) 1,32% c) 2,32% d) 3,2% e) 13,2%


Resolução:


Uma pesquisa sobre orçamentos familiares, realizada recentemente pelo IBGE, mostra alguns itens de despesa na distribuição de gastos de dois grupos de famílias com rendas mensais bem diferentes.

vide tabela


Considere duas famílias com rendas de R$ 400,00 e R$ 6.000,00, respectivamente, cujas despesas variam de acordo com os valores das faixas apresentadas. Nesses casos, os valores em R$ gastos com alimentação pela família de maior renda, em relação aos da família de menor renda, são, aproximadamente

a) dez vezes maiores
b) quatro vezes maiores
c) equivalentes
d) três vezes maiores
e) nove vezes menores

Resolução:

Aula de matemática

Esses vídeos retratam bem a importancia da matemática em nosso cotidiano . Muito legal aproveitem.

Tele aula de numero 1 - Matemática do dia a dia.



Tele aula de numero 2


Tele aula de numero 3

Alguns exercícios básicos para pensarmos

Ônibus da Viação Pirajussara passam pelo Largo da Batata de 7 em 7 minutos. Se um ônibus passou às 15 h 42 mim, quem chegar ao Largo da Batata às 18 h 3 min esperará quantos minutos pelo próximo ônibus ?

a) 1
b) 2
c) 4
d) 5
e) 6

Veja a resolução:

Das 15 h 42 min às 18 h 3 min temos 141 minutos.

140 é múltiplo de 7. O próximo múltiplo é 147.

Portanto, 147 - 141 = 6 minutos.

Alternativa correta é a letra E.

Fui na livraria Cultura em SPe com a compra de sete livros de um determinado romance importou em R$ 595,00. Depois de um reajuste de 30% nos preços da livraria, cada volume passou a custar, em R$,







a)110,50 b) 115,00 c) 120,00 d) 127,00 e) 130,00


Veja a resolução: Aumento de 30% ---> 0,30.595 = 178,50

Preço de cada livro --->

Alternativa correta é a letra A

Uma pessoa gasta seu salario mensal de R$ 2.400,00 da seguinte forma> 2/5 do salário com alimentação, 1/10 do salário com prestação da casa própria, 3/20 do salário com educação e o restante, com despesas. Os gastos com despesas diversas importam em R$:

a) 640,00

b) 750,00

c) 840,00

d) 1.240,00

e) 1.560,00

Resolução:

Total de gastos(alimentação + prestação da casa + educação) > R$ 1.560,00.

Como o salário mensal é R$ 2.400,00, basta fazer a subtração do salário pelos gastos acima para obtermos as despesas diversas, isto é: 2400 - 1560 = R$ 840,00.

Alternativa correta é a letra C.

De um terminal rodoviário, partem os ônibus de três empresas A, B, C. Os ônibus da empresa A partem a cada 15 minutos; da empresa B, a cada 20 minutos; da empresa C, a cada 25 minutos. Às 8 h 30 min, partem simultaneamente 3 ônibus, um de cada empresa. A próxima partida simultânea dos ônibus das empresas será às

a) 10h 30 min b)11 h c) 12 h d) 13 h 30 min e) 14 h

Resolução:

Empresa A - a cada 15 min (1, 15, 30, ...)

Empresa B - a cada 20 min (0, 20, 40, ...)

Empresa C - a cada 25 min (0, 25, 50, ...)

Como o tempo de partida dos ônibus são múltiplos de 15, 20 e 25, basta calcularmos o M.M.C. desses tempos.

15 - 20 - 25 2

15 - 10 - 25 2

15 - 5 - 25 3

5 - 5 - 25 5

1 - 1 - 5 5

1 - 1 - 1

M.M.C (15, 20, 25) =
Como cada hora tem 60 min, temos: 300 min = 5 h

Portanto, como todos os ônibus partiram às 8 h e 30 min, a próxima partida simultânea será> 8 h 30 min + 5 h = 13 h 30 min

Alternativa correta é a letra D.

Algoritmos da multiplicação

Um dos algoritmos mais complexos das operações aritméticas elementares é o da operação multiplicação. De fato, uma vez que o nosso sistema de numeração é um sistema de valor posicional, quando a operação implica transporte, isto é, o famoso " e vai um" ou " e vão dois", etc., torna-se difícil, numa primeira abordagem ao algoritmo, perceber. De fato, qual o significado da expressão " e vai um"?. Para se perceber o que essa expressão significa tem que se dominar muito bem o conceito de base e o conceito de ordem ou valor posicional dos elementos envolvidos na multiplicação.
veja a figura:

Repare-se que o algoritmo anterior depois simplifica-se com a seguinte conversa: "5 vezes 7 são 35. Fica 5 e vão 3. Cinco vezes cinco são 25, mas três que iam são 28. Fica o 8 e vão 2... e assim sucessivamente. Logo, trata-se de algo complexo, que carece de tempo para que se interiorizem estes procedimentos. Contudo vejam-se outros algoritmos, como seja algoritmos egipcio, ou o russo ou o indu-árabes, também designado por gelosia.

No caso do algoritmo egipcio, parte-se da regra de que um número inteiro ou é uma potenciade base dois ou pode se obtido através da edição de várias potencias de base dois. Apesar de os antigos egipcios não conhecerem o conceito da potencia usavam a ideia de qe multiplicar por quatro era dbrar o dobro de seis esse numero; multiplicar por oito era dobrar o dobro de dois esse numero e assim sucessivamente.

Logo, por baixo do fator da direita iam usando o que mais tarde se vejo a verificar como sendo as potencias de base dois. Paravam o algoritmo quando conseguiam obter esse fator a partir de alguns dos valores que colocavam na respectiva coluna. Na coluna afetada ao outro fator iam colocando dobros sucessivos deste fator. Vejamos:

Como se sabe que 16 + 8 + 1 =25, na outra coluna selecionam-se os números correspondentes a estes três potências de base 2: o 5712, o 2856 2 o 357, respectivamente. Repare-se que:

5712 + 2856 + 357 = 8925

Em síntese, este algoritmo é bem mais simples do que o que usamos, pois usa só o conceito de dobro do número, as potências de base dois e implica apenas o saber fazer adiçoes.

Já o algoritmo russo também é bastante simple, pois basta apenas encontrar metades sucessivas do 1º fator e dobros sucessivos do 2º fator. Nos casos de se obterem de números ímpares despreza-se sempre a parte decimal. Por último identificam-se os números ímpares que estão sob o 1º fator e selecionam-se, como parcelas a adicionar, os respectivos números que lhe correspondem na coluna do outro fator. vejamos:

Note-se que na coluna da esquerda existem alguns números ímpares: 357, 89, 11, 5 e 1. Por sua vez, os números que, respectivamente, lhes correspondem na coluna da direita são os seguintes; 25, 100, 800, 1600 e 6400.

Ora, adicionando-se estes números da coluna da direita obtém-se o valor pretendido, pois: 25 + 100 + 800 + 1600 + 6400 = 8925.

Já o método Indu-árabe ou de gelosia é muito parecido com o nosso algoritmo, pois esteve na sua base. Vejamos:

Repare que a resposta é 8925.

Muitas são as estratégias que podemos usar na resolução de problemas. Contudo, a escolha mais adequada das estratégias depende sempre do tipo de problema que se pretende resolver. Coloco aqui para reflexão este tipo de problema - problemas de processo - e para a sua resolução convém que se decomponham os problemas nas suas partes integrantes.

Identificar todos os triângulos possíveis neste pentagrama:



Ao tentar dar resposta a este desafio encontrará, certamente, dificuldades na identificação de todos os triângulos, pois trata-se de uma figura que contempla muitas figuras desse tipo.

Um bom registo ajudará a estruturar o raciocínio. Além disto, como há vários tipos de triângulos, se a nossa atenção incidir num tipo de triângulo de cada vez, isso poderá ajudar na resolução da globalidade do problema.

De fato, problemas desta natureza exigem que a sua resolução contemple uma abordagem parcelar a cada uma das suas partes integrantes. Sendo assim, podemos começar por numerar todas as zonas triangulares de menor dimensão, o que origina, de imediato, a identificação de 10 triângulos unitários:



Já temos identificados 10 triângulos:

Logo constata-se que o triângulo formado pelos triângulos 1 e 2 é um novo triângulo, diferente daqueles dez já identificados. Ora, centrando a nossa atenção na procura exclusiva de triângulos deste novo tipo, identificamos 10. São eles: [1,2]; [2,3]; [3,4]; [4,5]; [5,6]; [6,7]; [7,8]; [8,9]; [9,10] e [1,10]. Então, identificados 20 triângulos.

Veja-se, agora, que o triângulo formado pelos triângulos 1, 2 e 3 formam um novo triângulo. Como este há mais quatro, o que implica haver 5 triângulos deste novo tipo: [1,2,3]; [3,4,5]; [5,6,7]; [7,8,9] e [1,9,10]. Já vamos em 25 triângulos.

Repare que o triângulo formado pelos triângulos 1, 2, 6, 10, envolvendo o pentágono central, ainda não está identificado. Estamos perante um novo tipo de triângulos. Como este há mais quatro, pelo que deste tipo há 5 triângulos: [1,2,6,10]; [2,3,4,8]; [4,5,6,10]; [2,6,7,8] e [4,8,9,10]. Já contabilizamos 30 triângulos.

Por fim, ainda se pode identificar um novo tipo de triângulo, cujo exemplo pode ser o formado pelos triângulos 2, 6 e envolvendo o pentágono central. Como este há mais quatro, pelo que podem ser identificados 5 deste tipo: [2,6]; [2,8]; [4,8]; [4,10] e [6,10].

Uma vez que esta estratégia nos permitiu identificar os triângulos de cada tipo, é fácil concluir, agora, que esta figura permite a identificação de 35 triângulos. Além disto, esta estratégia de resolução permite identificar cada um desses 35 triângulos a qualquer momento, pelo que evita a repetição de ideias ou um certo tipo de "resolução em círculo vicioso".

Cálculo mental

Muitas vezes precisamos pensar rápido para tomada de decisão, nem sempre dispomos de máquina de calcular ou fazer uso de lápis papel para fazer contas longas, para isso é necessário compreender técnicas de cálculo mental e exercitar sistematicamente até adquirirmos esta habilidade. Segue algumas técnicas que se bem praticada ajudam muito.

Cálculos que envolvem multiplicações e divisões.

Multiplicação: Obter rapidamente o produto da seguinte operação:
5 x 86 ?
recorremos à estratégia de se obter uma dezena, podemos multiplicar o 86 por 10 e dividir o produto por 2. Vejamos 5 x 86 = 86 x 5 = 86 x (10 : 2) = 860 : 2 = 430. Já no caso seguinte, a estatégia passa por se obter uma centena: 86 x 50. Vejamos: 86 x 50 = 86 x (100 : 2) = 8600 : 2 = 4300.



Por decomposição: Decompor um dos fatores envolvidos na multiplicação é também uma poderosa estratégia de cálculo mental.

Vejam-a aplicada no seguinte caso:

8 x 33= ? --> Decompondo o 33 em 30 + 3, ficaria, 8 x 30 + 8 x 3 = 240 + 24 = 264.

Veja o seguinte caso semelhante:
4 x 59=? --> A sua resolução pode ser a seguinte: 4 x (60 - 1) = 240 - 4 = 236.



Divisão: Como efetuar a divisão de 180 por 12? Veja que estes dois números permitem ser simplicados sucessivamente. Logo a estratégia de se fazerem simplificações sucessivas pode ser muito útil para casos como este. Vejamos: 180 : 12 = 90 : 6 = 45 : 3 = 15.



Multiplicar pelo inverso de um dos fatores, veja:

(a) 37 : 0,5 = 37 x 2 = (35 + 2) x 2 = 70 + 4 = 74.

(b) 45: 0,2 = 45 x 2 = 90.

Outras técnicas...

15 x 15= veja que o número quinze começa com nº 1, depois do um vem o 2. Então 1x2=2 e 5x5= 25 >>total 225
25 x 25= veja que o número vinte e cinco começa com nº 2, depois do dois vem o 3. Então 2x3=6 e 5x5=25 >> total 625
35x35= 3x4 = 1225
e assim por diante.

veja no video:

Água do nosso planeta

Veja o nosso querido planeta terra, como é lindo..., fica díficil imaginar que corremos o risco de sofrer por falta de água potável, mesmo sabendo que nosso planeta é composto por boa parte deste recurso. Veja o quanto de água possuimos neste planeta:

Diâmetro medio da terra = 12 700 km // volume da terra = 1,07 trilhão de km cúbico // raio da terra= é cerca de 6350 km.

Obs.: (calculo está abaixo)

Se pudessemos juntar em uma esfera todo o volume de água do planeta, o diâmetro de cada uma seria...cerca de 1 385 km. (veja o cálculo abaixo).

V= 1,39 bilhão de km cúbico

Volume da água doce do planeta 35 milhões de km cúbico















Volume da água doce superficial 104,6 mil km cúbico


A quantidade total de água existente no planeta não é um dado exato, mas uma estimativa feita por especialistas, se faz, através de conceitos que envolve geometria, como área e volume. Esses estudiosos conhecem a área e a profundidade de oceanos, lagos e aquíferos e a proporção de água que escoa por rios, que cai na forma de chuva e evapora de volta para atmosfera. Nesses cálculos, trabalha-se com conversões de unidades.
de litros para quilômetros cúbicos, por exemplo e também, com porcentagem, que estabelece a proporção entre dois valores.

Escassez de água? Quando se fala de água potável em quantidade suficiente, fica díficil estimarmos dados precisos, ainda se falando de uma população estimada de 6,7 bilhões de humanos, isso sem falar de outros seres vivos dependentes desse recurso, podemos notar através dos noticiarios, uma série de informações de que que o mundo esta a beira de uma crise. Um dos principais problemas, está relacionado a distribuição geográfica dos nosso recursos hídricos, além do crescimento desordenado dos centros urbanos, uso irracional e fenômenos do aquecimento global.

Veja como é calculado o volume de toda a água - conheçemos o volume total de água da terra - 1,39 bilhão de km cúbico.


O diâmetro é duas vezes o raio. Toda água do planeta caberia num esfera de 1384,88 km de diâmetro, ou seja, cerca de 1385 km.

A ESFERA DE ÁGUA DOCE

Temos a indicação da proporção de água da terra que é doce: 2,5% - ou seja, a cada 100 km cúbico de água, 2,5 km cúbico são pótaveis.
Água total do planeta já sabemos, agora basta estabelecer a relação de equivalência(o que conhecemos de regra de três) para achar o volume correspondente a 2,5%: